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1748年。
欧拉说:“我找到了新的表示角度的办法。1弧度的角:圆中弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.得到1弧度的角后,其余的角都可以用其来进行测量。一个平角的弧度数等于π,一个周角的弧度数等于2π。弧度制是一种新的度量角的制度,它必然与弧有关,而弧是在圆中出现的,初中在讲解圆时,规定弧的度数与其所对圆心角的度数相同,可见角是与弧有关系的.要规定一种新的度量制度,首先要规定单位量,对弧度制来说,首先要规定1弧度.”
约翰伯努利说:“弧度制的基本思想的雏形起源于印度,为什么要引入它呢?原来的角度有什么不好吗?”
欧拉说:“角的概念的扩充,完全可以研究函数了,但在研究函数的过程中,角度制有其不方便的地方:角度中,度、分、秒之间是60进制,计算不方便,更重要的是,三角函数的值是十进制,在实际应用中会有很多不便,尤其给数形结合带来麻烦,例如三角函数画图时,由于横轴(角度)与纵轴(三角函数的值)的单位不一致,图形会发生扭曲。而采用弧度制图形就会变得“优美。”
伯努利说:“不充分。”
欧拉说:“说个你喜欢的,对sinxx取x的极限可得到1,如果用角度制,是Π180。”
伯努利说:“说实话,只是变换了规则,我没觉得它有什么独创的东西?你只是说是角是按照对于的弧度与半径的比例而得到的,倒像个三角形那样的比例一般。如果没有重要的目的,我们为什么要那样折腾呢?”
欧拉说:“我其实是在想一个问题,今天没有遇到,但以后会面对的。”
伯努利瞪眼兴奋道:“嗯嗯,我就像听这个。”
欧拉说:“我们以往研究的是平面角,从来没有研究过立体角,如何去表示一个立体角。”
伯努利知道不仅仅是两个相交平面的夹角,因为那还是一个平面角,伯努利说:“我们以后会研究到三个相交于一点的面所出现的角吗?比如是在球的中心,我们切下一块过原点的块,像切西瓜那样的。”
欧拉对伯努利说:“怎么不会用到呢?不是自然而然吗?”
伯努利说:“那我们只需要研究三个相交于一点的平面之间的夹角。”
欧拉打断说:“那虽正确,但是太过于麻烦繁琐,而且会有四个面相交于一点,甚至多个面相交于一点的,那样你两个两个面去挨个表示,说不定东西不大,但你会累个半死。”
伯努利说:“是啊,但这跟你发现角的弧度表示有什么关系?”
欧拉说:“你还没想到吗?我用弧长表示平面角,是不是可以用弧面表示立体角?弧长比圆的半径,是平面角,弧面比球的半径的平方,那就是立体角啊。园心的角度是2Π,球体的立体角是……”
伯努利快速心算到:“圆面比半径平方,4Π。”
欧拉说:“所以衡量两个立体角一样大,那是不是要用到弧面一样大的的概念了?”
伯努利觉得很神奇,以后必将形成一种学科。
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